Жигалко Е. Ф., Хорошавцев Ю. Е., Каленов В. Е. Летная эксплуатация воздушного судна для критических режимов, описываемых волновым уравнением: текстовая версия

Для эксплуатации воздушных судов необходимо ясное понимание физических процессов, происходящих в критических условиях полета. Обычно эти условия возникают, когда самолет выходит за диапазон допустимых скоростей, причем поскольку в пилотировании используются две скорости — воздушная и индикаторная, то и диапазонов два, каждый из которых определяется на основании своих физических условий. Для этих диапазонов характерно относительно плавное, без сжатия, обтекание потоком воздуха, соответственно рассчитываются параметры устойчивости и управляемости самолета. Но при скоростях, приближающихся к скорости звука, возникает волновой кризис, характер обтекания, в первую очередь несущих поверхностей, существенно меняется, становится нестационарным со скачками уплотнений, а поведение самолета оказывается труднопредсказуемым [1]. Для таких режимов построение математических моделей становится непростой задачей.

Ниже предложен принципиально новый подход к описанию волнового кризиса, основанного на использовании волнового уравнения. Поскольку кризис возникает при околозвуковых скоростях, используется модель волны, записываемая в гиперболических координатах [3]. Для нее получено решение, предсказывающее возникновение в точке сингулярности зоны сжатия, которая на практике проявляется в виде скачков уплотнения среды и ударной волны. Известные решения волнового уравнения получены применительно к классическим физическим процессам, имеющим волновую природу, и лежат в области вещественных чисел. Такое предположение является вполне обоснованным, однако математически не исчерпывает всех возможностей. С другой стороны, не ко всем волнам применима существующая теория. Мы сделали попытку найти новые решения, расширив область поиска, включающую комплексные переменные.

Пусть имеется однородное волновое уравнение относительно u Перейдем к новым криволинейным координатам r и φ, которые будем называть гиперболическими: Переходя от старых x и t переменных к новым r и φ, получаем функцию u (r, φ). После ряда выкладок в конечном итоге волновое уравнение относительно искомой функции u (r, φ) может быть переписано как Оно совпадает с уравнением Лапласа в полярных координатах. На первый взгляд может показаться, что в этом случае все решения уравнения Лапласа формально могут быть распространены на волновое уравнение. Однако для этого еще необходимо, чтобы граничные условия, во многом определяющие решение задачи, были одинаковыми. В противном случае формально полученное решение будет лишено смысла. Как нетрудно заметить, граничные условия (не только в задаче Дирихле) уравнения Лапласа не могут быть физически корректно интерпретированы в волновом уравнении. Необходима их модификация.